動力學簡介

1 物理特性

本章介紹機動學所秉持之基本原理及觀念

1.1 力與扭力

1.1.1

:作用於一自由物體之媒介或影響,通常會造成該物產生加速度及彈性變形,或其他效應. 

每天我們均會或多或少處理與力有關的問題.諸如壓力也是一種力.地球對所有物體產生吸引力.為研究作用於物體上之力我們必須知道這些力如何作用,其作用的方向與數值.若採用圖示法,則力可使用一個箭號代表,箭頭所指即為力作用之方向. 

一個機構( mechanism)則負責力之作用與反作用之傳遞.機械(Machines)則是透過一系列事先決定的運動來傳遞各種不同的力. 這些相關的觀念則是基於動態移動的狀況下產生的.

1.1.2 扭力

扭力(Torque): 則是可以產生轉動或會使其旋轉的另一種力,其主要效應則是依力的大小及垂直於迴轉中心線之距離之乘積決定.

1-1所示之槓桿為例.該槓桿可以在固定點 A處自由旋轉.另有一重量w置於一端,則必須加一F之力方能維持此槓桿之平衡.

1-1 一個槓桿與諸力間之平衡狀態

為分析作用於槓桿上之各力,必須先求得作用於槓桿上之扭力.為求作用力 W 對支點 A之扭力,可以直接將W 乘以 作用點至固定點間之距離l1,.同理, F x l2 為 F對支點A之扭力.

1.2 運動

運動:位置或方向之改變.

1.2.1 沿著直線路徑之運動

首先,考慮最簡單的情況,即直線運動.

1.      直線位置及位移
運動狀態表示之先,須說明一個移動物體之位置所在. 一輛在東西向之直徑高速公路上奔馳之汽車,其位置之表示可說:該車在離市中心西邊5公里處.這個敘述中,至少說明兩項因素:以原點為基準之距離及方向之位移量測.

2.      速度
一個穩定移動物體之速度可以用每單位時間內之位移量表示:

    

v=

x2 – x1

=

d

----(1-1)

t2 t1

t

 

式中, t = t2 - t1為位移量發生之時間區段.當速度發生變化時,時間區段可以區分更小,則:

v=

lim        Δx

 

----(1-2)

Δt à0   Δt

 

3.      加速度
加速度為單位時間內之速度變化.若速度在固定的變化率下變化,則加速度可以如下表示:

  

a

v2 – v1

=

Δv

----(1-3)

t2 t1

Δt

 

 亦可簡化表示如下:

a =

 lim         Δ

 

----(1-4)

Δt à0    Δt

 

1.2.2 空間之線性運動

當運動不沿著直線而沿著一個平面前進時,整個情況會變為更複雜.此時可以將運動量用一個數值與移動的向量表示. 

1.      位置向量與位移向量
以線段量可以說明一個物體相對於原點之位置,稱為位置向量,如圖1.2中之 d1d2

1.2 位置向量與位移向量

 

若某運動由位置d1d2,則可用d1表示之位置向量處往以d位置向量處移動,此移動之區間即為位移向量.

                                             Δd  =  d2 – d1               (1-5)

 

2.      速度向量
某一位移
Δd  發生於時間區間Δt,則在此區間之平均速度為:

         ave =  Δd  / Δt                (1-6)

 明顯地,vave之方向應與  Δd 相同.

以極限的觀念,當Δ趨近於零,其瞬時速度可表示如下:

v =

 lim        Δd 

 

----(1-7)

Δt à0    Δt

 

在小位移量下,速度 V 之方向應與Δd 之方向相同,故應沿著路徑並與路徑相切.

3.      加速度向量
瞬時加速度則為當
Δt趨近於零時,Δd/Δt 比值之極限值:

v =

 lim        Δv 

 

----(1-8)

Δt à0    Δt

 

1.2.3 剛性體之平面運動

前節討論到質點之運動問題,對於平面中之剛性體,其運動情形將更加複雜,因為它包括直線與迴轉運動 .通常這種運動可以分開為兩種運動(圖1.3).

1.      剛性體質心之線性運動.此部份之運動與平面上質點之運動相同.

2.      剛性體相對於質心之迴轉運動.

1.3 平面中剛性體之運動

1.3 牛頓運動定律

1.3.1 牛頓第一定律

物體不受力時,動則恆動,靜者恆靜,亦即維持靜止或以定速維持直線運動.此慣性原則即為眾所週知的牛頓第一定律.也是因為這個定律使牛頓能建立目前我們所知的動力學世界

1.3.2 牛頓第二定律

在我們日常生活上,我們可以觀察到:

1.      當一力 F 作用於一物體,使其速度之變化量為ΔV因時間t之增加而增加時;

2.      作用力 F愈大,ΔV也愈增加;

3.      物體愈大,其因作用力所產生之加速愈小.

這些值之關係可以將FΔt ΔV之比例以下列型式表示:

                                                                       FΔt  = m ΔV    (1-9)

式中之比例常數m將隨物體而變化.此常數m即為所謂之物體慣性質量.上述之關係即為牛頓之運動定律(牛頓第二定律)

Δ/Δt = a      (1-10)

式中a即為該物體之加速度,即

                  F = m a       (1-11)

m = 1 kg, a = 1 m/sec2, 則 F = 1 newton

由於力與加速度均為向量,故牛頓定律可以以向量形式表示:

                    = m a       (1-12)

1.4 動量與動量不滅定律

1.4.1 衝量

若要使棒球及鐵球以同樣的速度滾動,你會發現要使鐵球滾動較困難.若以同樣的力作用於上述物體上,作用之時間同為Δt ,則其速度之變化可依1-9式求得.欲獲得同樣之ΔV,則質量m愈大其所需之FΔt 之乘積加速值應愈大.

若將鐵球由靜止投至與棒球一樣的最後速度,其所需之作用力需愈大,其所需之時間也愈長.此處Δt 之乘積即代表這中間的含意.亦即作用力所產生之衝量.

1.4.2 動量

設對棒球與鐵球作用相同之衝量,由靜止開始,則由於mv之起始值為零且作用等量之衝量,故最後之衝量兩球應會相等。但是因為鐵球之質量遠比棒球為大,鐵球之速度將比棒球為小。這裡之mv乘積之量與單獨v值在意義上有很大的不同。我們稱其為物體之動量p,其單位為公斤-米每秒。

                           p = m v                     (1-13)

物體之速度與動量是完全不同的觀念:速度是一種運動的量;而動量則是一種動態的量,與運動中之質量變化有關。

由於與衝量一項在牛頓定律(公式1-9)中相關,故動量自然適合於牛頓動力學之範圍。牛頓曾將其定律以動量之變化表示,即其所謂之運動量。因此牛頓定律可以用動量變化的方式表示如下:

                                                        FΔt  = m Δ =  (’-V )   (1-14)

式中,V及V分別為撞擊前之速度。上式右邊之公式則可改變為動量之變化: 

(V-V) = mV - mV= p- p =  Δp           (1-15)

故:                                          FΔt  =  Δp       (1-16)

換言之,衝量等於動量之變化。

1.4.3 動量不滅定律

1.4中顯示一個移動中之球與一個靜止中的球相碰撞時之情形,兩個球之質量假設相同。此時移動的球驟然停止,而被撞的球則以第一個球相同的速度前進。因為第二球之動量與撞擊前相同,故第一球失去所有之動量,而第二球則待到前者所有之動量。

1.4 兩球相撞時之速度變化

這種現象符合動量不滅定律的原則,當兩物體相接觸期間,其總動量應為常數。

1.5 功、功率及能量

1.5.1

為力作用於某一物體使其移動一段距離。若將物體在地板上拖動,則你所做的功是在克服地板與物體間之摩擦力。舉重時你是對地心引力作功,因為後者將物體拉向地心。蒸汽在火車頭裡對活塞作功,使其對外伸展並克服外在之阻力。 為克服之阻力與移動之距離之乘積。

1.5.2 功率

功率 為做功的速率。

在英制系統中,功率以呎磅每秒表示,較大的單位則以馬力表示:

1 hp (馬力) = 550 呎磅/秒 = 33,000 呎磅/分

在公制單位( SI)中,功率則以焦耳每秒表示,此單位又稱為瓦特(W)。 u

1 hp = 746 W = 0.746 kW

1.5.3 能量

物體均具有能量。此能量可能來自某些時段點所做的功。通常在機械系統中有兩種型式之能源 :即為位能與動能(potential and kinetic)。位能(潛能或勢能)是由於物體之所在位置而獲得;動能則由於物體移動所具有之能量。

舉例:一個運動中之物體在靜止前需克服一部份之阻力,這種能量則由運動中之物體具有之能量轉換而得。引擎上飛輪既能吸收並且能放釋放出能量,使這種能量回歸至曲軸,並且運轉順暢。上升的重錘具有能量做功則因為其獲得高度而具有位能,這種應用散見於不同型式之鐵錘。

 

1.6 簡諧運動

馮丁樹

一個質點若具有線性運動,且其加速度與質點距某固定點之位移成正比且符號為負時稱為簡單之簡諧運動。即

 

A = - Kx

 

式中,A = 加速度

   x = 位移

K= 常數

 

簡諧運動通常可用作圓周運動之質量在直徑方向之投影所得之結果。圖1中該OP以定速度ω旋轉,而B點為P點在x軸上之投影。則點BO處之位移可以表示如下:

x = R cosωt

 

1.5. 簡諧運動之投影

 

其速度V及加速度A分別為:

 

V = dx/dt = - R sinωt

A = d2x/dt2 = - Rω2 cosωt

 

由上次可知:

 

A = -ω2x

 

由於ω為常數,故其平方仍為常數值,故符合簡諧運動之定義。圖1.6為間歇軛 (Scotch Yoke) 為簡諧運動之應用例。

 

 

1.6. Scotch-yoke 機構

 

 

 

  台大生機系
地址:台北市舟山路136號
電話:(8862)-23651765
傳真:(8862)-23627620
E-mail:martinfon@gmail.com
號電話:(8862)-23651765
傳真:(8862)-23627620
E-mail:dsfon@hotmail.com